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---- 竞赛不等式利器之Schur＆Muirhead (http://mathoe.com/dispbbs.asp?boardid=106&id=35942)
-- 发布时间：2009-4-6 23:14:00
-- 竞赛不等式利器之Schur＆Muirhead
Issai Schur伊赛·舒尔，1875年1月10日出生于俄罗斯帝国的第聂伯河岸的莫吉廖夫（现属白俄罗斯），舒尔一生大部分时间在德国度过，1894年舒尔进入柏林大学攻读数学与物理专业，1901年取得博士学位，1903年成为柏林大学讲师，1911年成为波恩大学教授，1916年返回柏林，1919年被提升为正教授，他的主要成就是在群表示论方面的奠基性工作，研究领域也涉及到数论、分析等。1929年成为俄罗斯科学院外籍院士。1941年1月10日在其66岁生日时逝于巴勒斯坦的特拉维夫（现属以色列）。
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[此贴子已经被作者于2009/4/7 14:23:31编辑过]
-- 发布时间：2009-4-7 15:05:00
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竞赛中常提到的Schur不等式是指下面这个不等式
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-- 发布时间：2009-4-7 18:31:00
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-- 发布时间：2009-4-7 19:13:00
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-- 发布时间：2009-4-7 19:18:00
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“klvaberdick”在2009/4/5 19:23:00在“高中版”发帖：
已知a，b，c∈R+， abc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋3≥2(1/a＋1/b＋1/c)。
证明：分析法倒推，
要证a²＋b²＋c²＋3≥2(1/a＋1/b＋1/c)，
去分母得(a²＋b²＋c²＋3)abc≥2ab＋2bc＋2ca，（用条件abc＝1）
即a²＋b²＋c²＋3≥2ab＋2bc＋2ca，
即a²＋b²＋c²＋(2ab＋2bc＋2ca)＋3≥4ab＋4bc＋4ca，
即(a＋b＋c)²＋3≥4(ab＋bc＋ca)，
即(a＋b＋c)²＋3≥4(ab＋bc＋ca)，
即(a＋b＋c)³＋3(a＋b＋c)≥4(ab＋bc＋ca)(a＋b＋c)，
而(a＋b＋c)³＋3(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)³＋3(三次根号abc)，
即证：(a＋b＋c)³＋3(三倍的三次根号abc)≥4(ab＋bc＋ca)(a＋b＋c)，
即(a＋b＋c)³＋9abc≥4(ab＋bc＋ca)(a＋b＋c)，
而此式即为Schur不等式（的特例）。
-- 发布时间：2009-4-7 20:24:00
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-- 发布时间：2009-4-7 20:55:00
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-- 发布时间：2009-4-7 21:29:00
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-- 发布时间：2009-7-3 8:06:00
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这个不等式怎么好像一般的竞赛书上没有额、、、
-- 发布时间：2011-7-1 9:20:00
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李老师做的很好，IMO允许直接应用初等或高等有关定理。但出题者希望有更好的方法，IMO很多不等式试题，被参赛学生证明所惊讶，一步就到位，所以现设立特别奖。大家加油。