- 数学奥林匹克报 (http://mathoe.com/index.asp)
-- Hojoo Lee数论问题解答集 (http://mathoe.com/list.asp?boardid=117)
---- 初等数论问题集-A64 (http://mathoe.com/dispbbs.asp?boardid=117&id=12691)
-- 发布时间：2007-10-1 8:47:00
-- 初等数论问题集-A64
问题A64：对于任意正整数x,y，如果x2+xy+y2是10的倍数，则x2+xy+y2必然是100的倍数。
-- 发布时间：2007-10-1 9:00:00
--
问题A64：对于任意正整数x,y，如果x2+xy+y2是10的倍数，则x2+xy+y2必然是100的倍数。
证明：①由已知x2+xy+y2≡0(mod2)，因此(x+1)(y+1)=x+xy+y+1≡x2+xy+y2+1≡1(mod2)，因此x和y都是偶数，所以x2+xy+y2≡0(mod4)；
②又由已知x2+xy+y2≡0(mod5)，因此4(x2+xy+y2)=3x2+(x+2y)2≡0(mod5)，而对于所有的整数(a,5)=1，有a2≡1或4(mod5)，因此如果x与5互素的话，3x2+(x+2y)2≡0(mod5)不可能成立，所以x和x+2y都是5的倍数，因此x、y都是5的倍数，所以x2+xy+y2是25的倍数。
综上所述，x2+xy+y2必然是100的倍数。
-- 发布时间：2007-11-25 21:57:00
--
2、5都属于3k+2形式的素数，所以这个命题实际上是下面这道题的推论：
此主题相关图片如下：