若数 20062006···20061006  (中有n个2006）能被11整除，则n的最小值是(   )。

请教

偶数位数字的和为2n＋1,奇数位数字之和为6n＋6,二者的差是4n＋5,使4n＋5为11的倍数的最小n的取值是7

“kavinsun”在2008-3-27 15:54:00问，现转在此处。

2、找出四个互不相同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除。如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是多少？

2答：设这四个数从小到大依次为a、b、c、d，要使最小与最大的和最小，

①先设最小的a最小（＝1），那么$frac{b＋a}{b－a}＝整数，即frac{b＋1}{b－1}＝frac{(b－1)＋2}{b－1}＝1＋frac{2}{b－1}＝整数$，所以b－1＝1或2，即b＝2或3,只有两种情况，但题意说要使得a与另三个数都有这种关系，所以a＝1不合题意。（这里虽说b是第二小，但此处还是没用到这个条件，所以得得出三个解才行，得两个解就要舍去。）。

②若最小的a最小（＝2），那么$frac{b＋a}{b－a}＝整数，即frac{b＋2}{b－2}＝frac{(b－2)＋4}{b－2}＝1＋frac{4}{b－2}＝整数$，所以b－2＝1或2或4，即b＝3或4或6,得三个解，正是题意要求的。这里b是另三个中的一个。

所以这四个数是2，3，4，6。中间两个数的和＝3＋4＝7。

谢谢李老师的解答，解答的很透彻。

像遇到这一类的题目，只能进行凑数，又费时，又容易错。

不断地学习和提高中……

“guangzh”在2008-5-21 19:53:00问2004第9届华杯赛总决赛倒数第2题：

求同时满足下列三个条件的自然数a，b：

(1) a＞b； (2)ab /（a＋b）＝169； (3)a＋b是平方数。

此题与第4楼的解答类似，请对比（这种技巧初中生较常用）。

第6楼解：由$frac{ab}{a＋b}＝169$得，整数＝a＝$frac{169b}{b－169}$＝$frac{169b－169^2＋169^2}{b－169}$

＝$frac{（169b－169^2）＋169^2}{b－169}$＝$frac{169（b－169）＋169^2}{b－169}$

＝$frac{169（b－169）}{b－169}＋frac{169^2}{b－169}$＝$169＋frac{169^2}{b－169}$＝整数，

所以（b－169）是$169^2$的约数，所以b－169＝1、13、13^2、13^3、13^4。

所以b₁＝169＋1＝170，b₂＝169＋13＝182，b₃＝169＋13^2＝338，b₄＝169＋13^3＝2366，b₅＝169＋13^4＝28730。

相应地a₁＝169＋169^2＝28730，a₂＝169＋13^3＝2366，a₃＝169＋13^2＝338，a₄＝169＋13＝182，a₅＝169＋1＝170。

由a＞b舍去（a₃，b₃），（a₄，b₄），（a₅，b₅）。再由a＋b是平方数再舍去（a₂，b₂）。

最后只得一组解a＝28730，b＝170。

谢谢李老师的解答！

“kavinsun”在2008-6-26 22:12:00问[求助]【在小于5000的正整数中，能被11整除……】：

在小于5000的正整数中，能被11整除，且数字和为13的数共有多少个？

能被11整除的数的特点是（奇位数字之和）与（偶位数字之和）之差是11的倍数。

一个多位数的奇位数字之和：个位算作第一位，十位算作第二位，百位算作第三位，……。

比如12345这个五位数，其奇位数字之和＝5＋3＋1＝9，其偶位数字之和＝4＋2＝6，二者之差＝9－6＝3。

所以12345不能被11整除，又由于二者之差是3，所以12345除以11余数是3。

对于5000以内的能被11整除，且满足数字和等于13的正整数：

①若（奇位数字之和）与（偶位数字之和）之差是11的0倍，即二者相等，又因二者之和＝13，这是不可能的；

②（奇位数字之和）与（偶位数字之和）之差是11的一倍，又因二者之和＝13，所以只能是二者之差是11的一倍。

即“大”＋“小”＝13

“大”－“小”＝11，变相地变成了“和差问题”，所以“大”＝12，“小”＝1。即

（Ⅰ）（奇位数字之和）＝12，且（偶位数字之和）＝1，

或者（Ⅱ）（奇位数字之和）＝1，且（偶位数字之和）＝12。

对于（Ⅰ），（奇位数字之和）＝12，（偶位数字之和）＝1，满足条件的一位数是不存在的，满足条件的两位数也不存在，若这个数是三位数：（***），则由（偶位数字之和）＝1得，十位数字＝1，（奇位数字之和）＝12得，个位数字＋百位数字＝12＝9＋3＝3＋9＝8＋4＝4＋8＝7＋5＝5＋7＝6＋6，

所以满足条件的三位数是：913，319；814，418；715，517；616。

若这个数是四位数：（****），则由（偶位数字之和）＝1得，十位数字＝0，千位数字＝1，（奇位数字之和）＝12得，个位数字＋百位数字＝12＝9＋3＝3＋9＝8＋4＝4＋8＝7＋5＝5＋7＝6＋6，

所以满足条件的四位数是：1903，1309；1804，1408；1705，1507；1606。

下面对于第二种情况，基本就是再叙述一遍

对于（Ⅱ），（奇位数字之和）＝1，（偶位数字之和）＝12，满足条件的一位数是不存在的，满足条件的两位数也不存在，若这个数是三位数：（***），则由（奇位数字之和）＝1＝1＋0＝百位数字＋个位数字，而十位数字必须等于12，所以三位数也不存在。

若这个数是四位数：（****），则由（奇位数字之和）＝1＝（个位数字）＋（百位数字）＝1＋0＝0＋1，

（偶位数字之和）＝12＝（十位数字）＋（千位数字）＝9＋3＝3＋9＝8＋4＝4＋8＝7＋5＝5＋7＝6＋6，

只把5000以下的写出即可，3190，3091；4180，4081。

所以满足条件的有以下18个：

913，319；814，418；715，517；616。

1903，1309；1804，1408；1705，1507；1606。

3190，3091；4180，4081。