1、一个两位数等于其数字和的二次方。

2、一个三位数等于其数字和的三次方。

3、一个四位数等于其数字和的四次方。

从幂的角度考虑。

1.81=（8+1）^2

2.512 = (5+1+2)^3

3.2401=（2+4+0+1)^4

其实楼主的标题就是题目,把三个小题都包含进去了：
求n位数，它等于它的数字和的n次方！
解：
穷举16、25、36、49、64、81、125、216、343、512、729、1296、2041、4096、6561
即可得解：81、512、2041
再证明N≥5无解。

凑热闹，再来一题：
求n位数，它等于它的数字和的数字和的n次方！

 

或者表述为：
a是个n位数，a的各位数字和等于b，b的各位数字和等于c，c的n次方等于a
求a

更难更高级的是问题：

5、一个n位数等于其每个数字的n次方之和？

5-①：

5-②：一个两位数等于其两个数字的平方和。没有这样的两位数。

5-③：一个三位数等于其三个数字的立方和。英国数论专家哈代指出，只有以下四个数：

      153＝1³＋5³＋3³＝1＋125＋27；

      370＝3³＋7³＋0³＝27＋343＋0；

      371＝3³＋7³＋1³＝27＋343＋1；

      407＝4³＋0³＋7³＝64＋0＋343。

5-③：一个四位数等于其各位数字的四次方之和。有以下3个：

      1634＝1⁴＋6⁴＋3⁴＋4⁴＝1＋1296＋81＋256；

      8208＝8⁴＋2⁴＋0⁴＋8⁴＝4096＋16＋0＋4096；

      9474＝9⁴＋4⁴＋7⁴＋4⁴＝6561＋256＋2401＋256。

5-⑤：一个五位数等于其各位数字的五次方之和。

      54748＝5⁵＋4⁵＋7⁵＋4⁵＋8⁵＝3125＋1024＋16807＋1024＋32768

5-⑥：一个六位数等于其各位数字的六次方之和。

     548834＝5⁶＋4⁶＋8⁶＋8⁶＋3⁶＋4⁶＝15625＋4096＋262144＋262144＋729＋4096

5-⑦：一个七位数等于其各位数字的七次方之和。

     1741725＝1⁷＋7⁷＋4⁷＋1⁷＋7⁷＋2⁷＋5⁷＝1＋823543＋16384＋1＋823543＋128＋78125

5-⑧：一个八位数等于其各位数字的八次方之和。

       24678051＝2⁸＋4⁸＋6⁸＋7⁸＋8⁸＋0⁸＋5⁸＋1⁸＝256＋65536＋1679616＋5764801＋16777216＋0＋390625＋1

5-⑨：一个九位数等于其各位数字的九次方之和。

  146511208＝1⁹＋4⁹＋6⁹＋5⁹＋1⁹＋1⁹＋2⁹＋0⁹＋8⁹＝1＋262144＋10077696＋1953125＋1＋1＋512＋0＋134217728

5-⑩：一个十位数等于其各位数字的十次方之和。

        4679307774＝4¹⁰＋6¹⁰＋7¹⁰＋9¹⁰＋3¹⁰＋0¹⁰＋7¹⁰＋7¹⁰＋7¹⁰＋4¹⁰

       ＝1048576＋60466176＋282475249＋3486784401＋59049＋0＋282475249＋282475249＋282475249＋1048576

  这是美国数学家哈里·L·纳尔逊找到的。据说这就是目前的记录，十全十美。11位数、12位数、……就靠大家啦！

试解下4楼李老师高级趣味题：

3位
153
370
371
407

4位
1634
8208
9474

5位
54748
92727
93084

6位
548834

7位
1741725
4210818
9800817
9926315，

8位
24678050
24678051
88593477

9位
146511208
472335975
534494836
912985153

10位
4679307774

11位
82693916578
44708635679
94204591914
32164049651
42678290603
40028394225
32164049650
49388550606

14位
28116440335967

16位
4338281769391371
4338281769391370

17位
35641594208964132
21897142587612075
35875699062250035

19位
4498128791164624869
4929273885928088826
3289582984443187032
1517841543307505039

20位
63105425988599693916

21位
128468643043731391252
449177399146038697307

23位
21887696841122916288858
28361281321319229463398
27879694893054074471405
35452590104031691935943
27907865009977052567814

24位
188451485447897896036875
239313664430041569350093
174088005938065293023722 

25位
1553242162893771850669378
3706907995955475988644381
4422095118095899619457938
3706907995955475988644380
1550475334214501539088894

27位
177265453171792792366489765
174650464499531377631639254
128851796696487777842012787

29位
23866716435523975980390369295
19008174136254279995012734741
14607640612971980372614873089
19008174136254279995012734740

31位
1145037275765491025924292050346

32位
17333509997782249308725103962772 

33位
186709961001538790100634132976991

35位
12639369517103790328947807201478392 

. . . .

 

不存在2、12、13、15、18、22、26、28、30位

第5题：“5、一个n位数等于其每个数字的n次方之和？”目前的世界纪录为watt5151所拥有。

续6楼：

35位：12639369517103790328947807201478392，

37位：1219167219625434121569735803609966019，

38位：12815792078366059955099770545296129367，

39位：115132219018763992565095597973971522400，

      115132219018763992565095597973971522401.

还有36位和40位以上的都不存在。原文请看《数学通报》2006，6，王天权《回归数大团圆》

多谢zzp2858先生提供这一文献信息。书读的少就会发生这种情况。估计watt5151也是自己编程计算得出（编程24小时找出这么多实属不易，计算机性能上品才行）。

把《数学通报》2006年第6期王天权的文章主要内容列于下：1986年美国的Anthony Diluna证明这种n位数的位数n≤60；2005年中国边欣证明60位的这种数不存在；2006年王天权用VB编程在电脑上花几天时间找出所有的这种数，n≥40时不存在。

6、定义一下两个概念：n的阶乘：n！表示从1到n的自然数连乘积。

                    阶乘数：n！等于其各位数字阶乘和的那样的数。