前几天watt5151提出一个完全平方数的好题，参与讨论热烈，得到不错的解答，帖子本身得到很好的充实，现在把这个帖转到这个版块来了。

又想到这样一个平方数的问题，我们知道：和1³＋2³＋3³＋……＋n³对每个正整数n，其结果都是平方数（wubingjie在做法国的题目时有一个以它为背景，他也提出了两个求方程整数解的题目），

那么和1＋2＋3＋……＋n的结果中有几个平方数？

和1²＋2²＋3²＋……＋n²的结果中有几个平方数？

和1！＋2！＋3！＋……＋n!的结果中有几个平方数？

1³＋2³＋3³＋……＋n³对每个正整数n，其结果都是平方数

关于这个题，我找到了一篇好的阅读文章，是关于他的推广，摘自《初等数学前沿》，余红兵教授撰写的，可以点击图片下栽

李老师的第一个问题1＋2＋3＋……＋n的结果中有几个平方数？

答案：无穷多个，最小的“非平凡”解是n=8。根据求和公式，我们要求n(n+1)/2是一个平方数，由于n和n+1互素，所以就有n=x²，n+1=2y²；或者n=2y²，n+1=x²。相减得x²-2y²=±1。这类方程被称作是Pell方程在潘承洞、潘承彪的《初等数论》第七章有专门的讲解。柯召、孙琦的《谈谈不定方程》第二章也有专题解说。

我们引用《谈谈不定方程》关于Pell方程的定理：设D是一个正整数且不是一个平方数，则x²-Dy²=1有无限多组整数解，设x₀，y₀是使得x最小的一组正整数解，则原方程的所有解都可以用x+y√D=±(x₀+y₀√D)ⁿ表示，其中n是任意正整数。

上面的最小正整数解也被称作是Pell方程基本解。x²-2y²=1的基本解为(3,2)由它可以构造出无限多个解，所以满足要求的n也是无限多个的。

第3个问题的缘起：第一次遇到这个题的时候，是原来辅导学生参加华罗庚金杯赛：①1×2×3×……×n＋3是一个数的平方，求n；

②1×2×3×……×n＋4是两个自然数的乘积，求n。

拿到这两个题目，吓了我一跳，这从哪里入手？主要是这是对小孩辅导啊！后来又想了想，既然是对小孩的内容，不应该多高深，从尾数出发，若n≥5，则n！的个位为0，加3后，个位为3，没有一个自然数的平方个位是3，所以n≤4，当n＝4时，4！＋3＝27（不行）；

当n＝3时，3！＋3＝9，（可以）；当n＝2时，2！＋3＝5（不行）；当n＝1时，1！＋3＝4（可以）。

两个连续自然数的乘积个位是0，2，6，减4后分别是6，8，2，这样n≥5时，n！个位为0，又不行，所以n＝4时，4！＋4＝28≠相邻自然数之积；n＝3时，3！＋4＝10≠相邻自然数之积；n＝2时，2！＋4＝6＝2×3（可以），n＝1时，也不行。

对阶乘和找平方数，也是这样，3！＋4！＋5！＋6！＋……＋n！的个位也是0，而（1！＋2！＝3），所以n≥4时，阶乘和个位都是3，没有哪个自然数的平方个位为3，所以n＝3时，1！＋2！＋3！＝9是平方数，n＝2时1！＋2！＝3不是平方数，n＝1时1！＝1是平方数。

主要是最近都在讨论平方数，想到了这个唬人的问题。

二、平方和问题，是个难题。（二、三放在一起，深深浅浅混淆视听）

人们已经知道了n＝1时（平凡解）；

n＝24时，1²＋2²＋3²＋4²＋……＋24²＝24×（24＋1）×（2×24＋1）/6＝4×25×49＝70²（非平凡解）

我国四川大学数学系马德刚先生给出初等证明，（马先生的这篇论文分别刊登在1985年第4期《四川大学学报》（这篇论文是受中科院科学基金资助的一个课题）；1985年第9期《科学通报（英文版）》）。

文章开始：1975年E·Lucas（法国，1842～1891）问丢番图方程6y²＝n（n＋1）（2n＋1）是否只有非平凡解n＝24，y＝70。剑桥Watson（1886～1965）和Ljunggren（德国）给出了肯定的回答，他们分别利用椭圆函数和四次括域上的pell方程给出了证明，证明很复杂。Mordell（英国，1888～1972）问是否有一个初等证明。本文给出了一个完全初等的证明，因而完全解决了Mordell提出的问题。

本站在几何版面有一个“Mordell不等式”的帖子，就是那个Mordell。

马德刚先生的论文参考文献上是Watson在1918年刊登的，Ljunggren是1952年刊登的。

下面给出马德刚先生的论文。

马德刚先生发表在1985年第4期《四川大学学报》上的文章：

说说本人看法：

首先令1^2+2^2+3^2+……+n^2=S

     ∵n+1/n=1+1/n不可约，∴(n,n+1)=1

                     同理有（n,2n+1)=1

                           （n+1,2n+1)=1

若n中有素因数P（P≥5）的奇数次方，则由

                            (n,n+1)=1

                           （n,2n+1)=1

                           （n+1,2n+1)=1

可得n+1,2n+1中都没有P因子。

   则S有素因数P的奇数次方，显然不可能为完全平方数。

            ∴n,n+1,2n+1必都为2^a*3^b*M^2之类的数。