问题1：一个正整数m被称为好数，如果存在一个正整数n，使得m=n/φ(n)，其中φ(n)表示n的所有正整数因子的个数(包括1、n)。证明：1、2、…、17都是好数，但是18不是好数。

不难发现φ(n)其实是积性函数，n/φ(n)也是“积性函数”。积性函数f是指定义在正整数上的函数，并且对于任意(a,b)=1，f(ab)=f(a)f(b)。

证明：①先构造证明1、2、...、17是好数：2/φ(2)=1；8/φ(8)=2；9/φ(9)=3；对于大于3的奇素数p，8p/φ(8p)=p；36/φ(36)=4；72/φ(72)=6；80/φ(80)=8；108/φ(108)=9；180/φ(180)=10；240/φ(240)=12；252/φ(252)=14；360/φ(360)=15；128/φ(128)=16。

②如果存在正整数n，使得18=n/φ(n)，则n是18的倍数，如果n不是27的倍数，则由于9/φ(9)=3，而其它的每项的分子都不可能出现3的因子，所以n/φ(n)不可能等于18，矛盾，因此n肯定是27的倍数；如果n是2的倍数，但不是4的倍数，则由于2/φ(2)=1，而其它的每项的分子都不可能出现2的因子，所以n/φ(n)不可能等于18，矛盾，因此n肯定是4的倍数。

对于所有素数p，p^a/(a+1)都是关于正整数a递增的。因此对于所有的奇素数p，p^a/(a+1)都大于1，如果n是81的倍数，则n/φ(n)≥[4/φ(4)]×[81/φ(81)]＞18，所以n仅含有3的3次方的因子，因此在上述n/φ(n)乘积展开式中含有27/φ(27)=27/4这一项，这样n至少应该含有2的3次方的因子，才能保证n/φ(n)是偶数，如果n仅含2的3次方的因子，则8/φ(8)=2，分子2的因子还不够去抵消27/φ(27)分母中的2²，所以n肯定是16的倍数。这样n/φ(n)≥[16/φ(16)]×[27/φ(27)]＞18。综上所述，18不可能是好数。

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